Математические задачи в пакете MathCAD 12


Системы линейных уравнений


Системы линейных уравнений
Системы линейных уравнений Одной из центральных проблем вычислительной линейной алгебры является решение систем линейных уравнений (см. разд. 8.1 и 8.2), отыскание собственных векторов и собственн...
Хорошо обусловленные системы с квадратной матрицей
8.1. Хорошо обусловленные системы с квадратной матрицей С вычислительной точки зрения, решение СЛАУ с квадратной матрицей А не представляет трудностей, если размерность А не очень велика. С большо...
1 Вычислительный блок Given/ Find
8.1.1. Вычислительный блок Given/ Find Для того чтобы численным методом решить СЛАУ при помощи вычислительного блока (он был подробно описан в главе 5), следует после ключевого слова Given выписат...
Листинг 8 1 Решение СЛАУ с помощью вычислительного блока
Листинг 8.1. Решение СЛАУ с помощью вычислительного блока...
Листинг 8 1 демонстрирует запись
Листинг 8.1 демонстрирует запись каждого уравнения системы (в промежутке между Given и Find), что очень неудобно, когда система содержит большое число уравнений. В последнем случае намного лучше п...
Листинг 8 2 Решение СЛАУ записанной в матричной форме
Листинг 8.2. Решение СЛАУ, записанной в матричной формеПроверка правильности решения СЛАУ прямой подстановкой, причем в матричной форме, приведена в листинге 8.3. Обратите внимание на матрицу в пе...
Листинг 8 3 Проверка правильности решения СЛАУ
Листинг 8.3. Проверка правильности решения СЛАУ  ...
2 Функция lsolve
8.1.2. Функция lsolve Альтернативой способу решения СЛАУ, введенному в предыдущем разделе, является применение встроенной функции isolve. Для этого система уравнений должна быть записана в матричн...
Листинг 8 4 Численное решение СЛАУ
Листинг 8.4. Численное решение СЛАУ...
Листинг 8 5 Символьное решение
Листинг 8.5. Символьное решение СЛАУ (продолжение листинга 8.4)="6.gif">  ...
Произвольные системы линейных уравнений
8.2. Произвольные системы линейных уравнений Классические задачи решения СЛАУ, рассмотренные в предыдущем разделе, предполагают равное количество уравнений и неизвестных, т. е. квадратную матрицу...
1 Переопределенные системы
8.2.1. Переопределенные системы Начнем разговор о "плохих" СЛАУ с переопределенными условиями, в которых число уравнений больше числа неизвестных. О постановке задач Чаще всего СЛАУ с пр...
Листинг 8 6 демонстрирует что
Листинг 8.6 демонстрирует, что несовместные системы не могут быть решены ни при помощи встроенной функции isolve, ни посредством вычислительного блока Given/Find....
Листинг 8 6 Попытка решения несовместных СЛАУ
Листинг 8.6. Попытка решения несовместных СЛАУ Примечание 1Примечание 1Конечно, в редких случаях система с прямоугольной матрицей может оказаться совместной (если выбран соответствующий вектор ь),...
Листинг 8 7 Пример нахождения
Листинг 8.7. Пример нахождения решения СЛАУ с прямоугольной матрицей На практике (особенно в последнее время) задачи отыскания решения переопределенных СЛАУ встречаются довольно часто. Приведем пр...
Листинг 8 7 может описывать случай
Листинг 8.7 может описывать случай, когда погрешность эксперимента полностью отсутствует, и система трех уравнений с двумя неизвестными оказывается совместной. А листинг 8.6 является примером куда...
График минимизируемой функции невязки f (х) = | Ахb|
Рисунок 8.1. График минимизируемой функции невязки f (х) = | Ах-b|...
Сечения графика невязки f (х)
Рисунок 8.2. Сечения графика невязки f (х) для трех фиксированных значений х0...
Листинг 8 8 Поиск псевдорешения при помощи функции Minerr
Листинг 8.8. Поиск псевдорешения при помощи функции Minerr...
Листинг 8 9 Поиск псевдорешения при помощи функции Minimize
Листинг 8.9. Поиск псевдорешения при помощи функции Minimize="13.gif"> На первый взгляд, удобнее использовать функцию Minerr, поскольку для нее текст Mathcad-программы (листинг 8.8) в...
Изменение численного алгоритма для функции Minerr
Рисунок 8.3. Изменение численного алгоритма для функции Minerr Во-вторых, приближенное решение СЛАУ посредством вычислительного блока Given/Minerr невозможно при наличии дополнительных условий, вы...
Листинг 8 10 Поиск псевдорешения
Листинг 8.10. Поиск псевдорешения при наличии априорной информации  ...
2 Недоопределенные системы
8.2.2. Недоопределенные системы Альтернативным рассмотренному в предыдущем разделе классу СЛАУ с прямоугольной матрицей размера MxN, (при M<N) является случай, когда количество уравнений меньше...
Листинг 8 11 Аналитический поиск
Листинг 8.11. Аналитический поиск семейства решений недоопределенной СЛАУПриведенную простую систему двух уравнений нам удалось без труда решить аналитически, однако для решения недоопределенных с...
График всех решений уравнения x02x1=10
Рисунок 8.4. График всех решений уравнения x0-2x1=10 Нормальное псевдорешение Способ выбора одного решения из бесконечного множества, изображенного на Рисунок 8.4, подсказывает, по аналогии с пере...
График функции f (x0) = |х| при условии что xc2xi=10
Рисунок 8.5. График функции f (x0) = |х| при условии, что xc-2xi=10 Принимая во внимание введенную технику решения недоопределенных СЛАУ, можно предложить для этих задач простой и понятный алгорит...
Листинг 8 12 Поиск нормального
Листинг 8.12. Поиск нормального псевдорешения уравнения x0-2xi=10Примечание 1Примечание 1Возвращаясь к примеру с грушами и яблоками (см. разд. 8.2), можно интерпретировать недоопределенную СЛАУ из...
Листинг 8 13 Поиск нормального
Листинг 8.13. Поиск нормального псевдорешения недоопределенной СЛАУПримечание 2Примечание 2Если недоопределенная СЛАУ не имеет бесконечного множества решений, а является несовместной, то способ, п...
График функции f (х2) = |х| при
Рисунок 8.6. График функции f (х2) = |х| при условии выполнения СЛАУ из листинга 8.13  ...
3 Вырожденные и плохо обусловленные системы
8.2.3. Вырожденные и плохо обусловленные системы Вернемся вновь к СЛАУ Aх=b с квадратной матрицей А размера MхN, которая, в отличие от рассмотренного выше "хорошего" случая (см. разд. 8....
Графическое представление несовместной
Рисунок 8.7. Графическое представление несовместной системы двух уравнений с сингулярной матрицей Рассмотрим второй случай, когда СЛАУ Aх=b с сингулярной квадратной матрицей А не имеет ни одного р...
График сечений функции невязки f (х) = |Ахb|
Рисунок 8.8. График сечений функции невязки f (х) = |Ах-b| Несложно догадаться, что в рассматриваемом сингулярном случае псевдорешений системы, минимизирующих невязку |Ax-b|, будет бесконечно мног...
Листинг 8 14 Решение двух близких плохо обусловленных СЛАУ
Листинг 8.14. Решение двух близких плохо обусловленных СЛАУКаждая строка листинга 8.14 содержит решение двух очень близких плохо обусловленных СЛАУ (с одинаковой правой частью ь и мало отличающими...
График хорошо обусловленной системы двух уравнений
Рисунок 8.9. График хорошо обусловленной системы двух уравнений...
График плохо обусловленной системы двух уравнений
Рисунок 8.10. График плохо обусловленной системы двух уравнений Из Рисунок 8.10 видно, что прямые, соответствующие плохо обусловленной СЛАУ, располагаются в непосредственной близости друг от друга...
Листинг 8 15 демонстрирует отыскание
Листинг 8.15 демонстрирует отыскание решения задачи (8.4), а полученная зависимость невязки и самого решения от параметра регуляризации Я показана на Рисунок 8.11 и 8.12 соответственно. Важно подч...
Листинг 8 15 Регуляризация вырожденной СЛАУ
Листинг 8.15.Регуляризация вырожденной СЛАУЗаключительным шагом регуляризации является выбор оптимального ?. Имеется, по крайней мере, два соображения, исходя из которых, можно выбрать параметр ре...
Зависимость невязки регупяризованного
Рисунок 8.11. Зависимость невязки регупяризованного решения вырожденной СЛАУ от параметра А. (продолжение листинга 8.15) Примечание 6Примечание 6Любопытно также применить вместо формулы (8.3) в ка...
Регуляризованное решение в зависимости
Рисунок 8.12. Регуляризованное решение в зависимости от ? (продолжение листинга 8.15)...
Листинг 8 16 Регуляризация СЛАУ
Листинг 8.16. Регуляризация СЛАУ при помощи алгоритма минимизации (продолжение листинга 8.15)  ...
Матричные разложения
8.3. Матричные разложения Современная вычислительная линейная алгебра — бурно развивающаяся наука. Главная проблема линейной алгебры — это решение систем линейных уравнений. В настоящее время разр...
1 СЛАУ с треугольной матрицей
8.3.1. СЛАУ с треугольной матрицей Начнем разговор о решении СЛАУ посредством матричных разложений с простого, но исключительно важного частного случая, а именно, систем с треугольной матрицей, т....
Листинг 8 17 Решение СЛАУ с треугольной
Листинг 8.17. Решение СЛАУ с треугольной матрицей (прямой ход)  ...
2 Разложение Холецкого
8.3.2. Разложение Холецкого Разложением Холецкого симметричной (т. е. содержащей одинаковые элементы на местах, расположенных симметрично относительно главной диагонали) матрицы А является предста...
Листинг 8 18 Разложение Холецкого
Листинг 8.18. Разложение Холецкого Решение СЛАУ, если разложение Холецкого для него известно, основано на замене исходной системы Аx=b другой системой b-у=b (где у=LTх), что иллюстрируется листинг...
Листинг 8 19 Решение СЛАУ при
Листинг 8.19. Решение СЛАУ при помощи разложения Холецкого (продолжение листингов 8.18 и 8.17)  ...
3 LUразложение
8.3.3.LU-разложение LU-разложением матрицы А, или треугольным разложением, называется матричное разложение вида PA=LU, где L и U — нижняя и верхняя треугольные матрицы соответственно, ар— (диагона...
Листинг 8 20 LUразложение
Листинг 8.20. LU-разложениеТреугольное разложение матрицы системы линейных уравнений производится при ее решении численным методом Гаусса. Фактически именно алгоритм LU-разложения заложен во встро...
4 QRразложение
8.3.4. QR-разложение Среди матричных разложений особую роль играют ортогональные преобразования, обладающие свойством сохранения нормы вектора. Напомним из курса линейной алгебры, что матрица Q на...
Листинг 8 22 QRразложение сингулярной матрицы
Листинг 8.22. QR-разложение сингулярной матрицыЕсли бы исходная СЛАУ Aх=b не была вырожденной, то можно было сразу записать: QTQ-Rx=QTb, откуда следует (благодаря ортогональности матрицы Q): Rx=QT...
Листинг 8 23 Поиск одного из псевдорешений
Листинг 8.23. Поиск одного из псевдорешений вырожденной СЛАУ посредством QR-разложения (продолжение листинга 8.22 )Для того чтобы выбрать из всего множества псевдорешений (минимизирующих невязку и...
Листинг 8 24 Нормальное псевдорешение
Листинг 8.24. Нормальное псевдорешение вырожденной СЛАУ (продолжение листингов 8.22 и 8.23)...
Норма псевдорешения в зависимости
Рисунок 8.13. Норма псевдорешения в зависимости от у (продолжение листинга 8.24) Резюмируя практические аспекты применения QR-разложения, надо отметить, что алгоритмы решения СЛАУ на его основе пр...
5 SVD(сингулярное) разложение
8.3.5. SVD-(сингулярное) разложение Наиболее эффективными (но и ресурсоемкими) средствами решения произвольных СЛАУ (с матрицей А размера NxM) по методу наименьших квадратов являются так называемы...
Листинг 8 25 Сингулярное разложение сингулярной матрицы
Листинг 8.25. Сингулярное разложение сингулярной матрицыВенцом современных алгоритмов решения произвольных СЛАУ является SVD-разложение. Прежде чем прокомментировать соответствующий алгоритм, прив...
Листинг 8 26 Решение вырожденной
Листинг 8.26. Решение вырожденной СЛАУ при помощи сингулярного разложения (продолжение листинга 8.25)  ...
Собственные векторы и собственные значения матриц
8.4. Собственные векторы и собственные значения матриц Завершим главу, посвященную решению СЛАУ, еще одной задачей вычислительной линейной алгебры — задачей отыскания собственных векторов х и собс...
Листинг 8 27 Собственные векторы
Листинг 8.27. Собственные векторы и собственные значения матрицыПомимо рассмотренной проблемы поиска собственных векторов и значений иногда рассматривают более общую задачу, называемую задачей на...
Листинг 8 28 Поиск обобщенных
Листинг 8.28. Поиск обобщенных собственных векторов и собственных значений  ...
Index22
   ...
Index32
   ...








Начало