Вырожденные и плохо обусловленные системы
8.2.3. Вырожденные и плохо обусловленные системы
Вернемся вновь к СЛАУ Aх=b с квадратной матрицей А размера MхN, которая, в отличие от рассмотренного выше "хорошего" случая (см. разд. 8. Г), требует специального подхода. Обратим внимание на два похожих типа СЛАУ:
- вырожденная система (с нулевым определителем |А|=0);
- плохо обусловленная система (определитель А не равен нулю, но число обусловленности очень велико).
Несмотря на то, что эти типы систем уравнений существенно отличаются друг от друга (для первого решение отсутствует, а для второго существует и единственно), с практической точки зрения вычислителя, между ними много общего.
Вырожденные СЛАУ
Вырожденная система — это система, описываемая матрицей с нулевым определителем |A|=0 (сингулярной матрицей). Поскольку некоторые уравнения, входящие в такую систему, представляются линейной комбинацией других уравнений, то фактически сама система является недоопределенной. Несложно сообразить, что, в зависимости от конкретного вида вектора правой части ь, существует либо бесконечное множество решений, либо не существует ни одного. Первый из вариантов сводится к построению нормального псевдорешения (т. е. выбора из бесконечного множества решений такого, которое наиболее близко к определенному, например, нулевому, вектору). Данный случай был подробно рассмотрен в разд. 8.2.2 (см. листинги 8.11—8.13).
