QRразложение
8.3.4. QR-разложение
Среди матричных разложений особую роль играют ортогональные преобразования, обладающие свойством сохранения нормы вектора. Напомним из курса линейной алгебры, что матрица Q называется ортогональной, если QTQ=I, где I — единичная матрица. Свойство сохранения нормы вектора при ортогональных преобразованиях, т. е. |Qx|=|x|, дает рецепт поиска псевдорешения вырожденных СЛАУ, а именно, замену исходной задачи минимизации невязки с "плохой" матрицей |Аx-b| задачей |QT(Ax-b)|, в которой матрица уже будет "хорошей" благодаря специальному построению матрицы Q. Таким образом, ортогональные разложения используются при решении любых систем (в том числе с прямоугольной матрицей А, причем как переопределенных, так и недоопределенных).
Одним из важнейших вариантов ортогональных разложений некоторой матрицы А является QR-разложение вида A=QR, где Q — ортогональная матрица, а R — верхняя треугольная матрица:
- qr (A) — QR-разложение:
- А — вектор или матрица любого размера.
Результатом действия функции qr (А) является матрица, составленная из матриц Q и R соответственно (подобно рассмотренному в предыдущем разделе LU-разложению). Выделить матрицы QR-разложения несложно при помощи встроенной функции выделения подматрицы submatrix (листинг 8.22).
