Векторное поле градиента функции
Рисунок 3.10. Векторное поле градиента функции двух переменных (продолжение листинга 3.14)
Как можно убедиться, сравнив графики на Рисунок 3.9 и 3.10, математический смысл градиента состоит в задании в каждой точке (х,у) направления на плоскости, в котором функция f (х,у) растет наиболее быстро. Абсолютное значение градиента (т. е. длина вектора в каждой точке) определяет локальную скорость изменения f (x,y). Из сопоставления графи ков ясно, что в центре показанной на них области (х,у) сама функция f (х,у) меняется медленно (соответственно, значения ее градиента являются малыми), а в углах — быстро (там значения градиента максимальны).
Очень важно заметить, что градиент является не скалярной, а векторной функцией переменных х,у, поскольку фактически представляет собой комбинацию двух функций, задающих соответствующие проекции (горизонтальную и вертикальную) вектора в каждой точке. До сих пор в данной главе мы рассматривали дифференцирование скалярных функций, однако в математике часто приходится иметь дело и с вычислением производных векторных функций. Рассмотрим эти действия на примере операции поиска дивергенции (листинг 3.15 и Рисунок 3.11), применимой к векторному полю, т. е. векторной функции, зависящей от пространственных координат (на плоскости, как в нашем примере, или в трехмерном пространстве).
